ESFERA

 

A esfera pode ser definida como "um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua cujos pontos estão eqüidistantes de um outro fixo e interior chamado centro"; ou seja, é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro, ou ainda, de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma.

ELEMENTOS DE UMA ESFERA 

FORMULAS

Área e volume : A área da superfície de uma esfera de raio r é:

e o volume é:

A esfera tem a menor superfície entre todos os sólidos de dado volume e tem o maior volume dentre todos os sólidos de determinada área. Por isso, a esfera sempre aparece na natureza: bolhas e pequenas gotas d'água, por exemplo, são aproximadamente esféricas, pois a tensão superficial busca uma área superficial mínima.

DESAFIO

DIA - A -DIA

 

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CONES

CONES

CONES

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

ELEMENTOS DO CONE

• Base: A base do cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.
• Vértice: O vértice do cone é o ponto P.
• Eixo: Quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.
• Geratriz: Qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.
• Altura: Distância do vértice do cone ao plano da base.
• Superfície lateral: A superfície lateral do cone é a reunião de todos os segmentos de reta que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base.
• Superfície do cone: A superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.
• Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano que contem o eixo do mesmo. 

 CLASSIFICAÇAO

Quando observamos a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base (90° Graus) e é oblíquo quando não é um cone reto.

FORMULAS

Todo cilindro cuja secção meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.

DIA  - A - DIA

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Cilindros

Cilindros

Cilindros

um cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície de revolução de um retângulo em torno de um de seus lados. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.

 ELEMENTOS

Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro".

Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos que contêm as bases do "cilindro".

Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.
 
Superfície Total : É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.

Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro.

Área total É a medida da superfície total do cilindro.
 
Seção meridiana de um cilindro : É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

 CLASSIFICAÇAO

Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.

Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.

Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

 FORMULAS

Volume : Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base)h    Se a base é um círculo de raio r, e pi =3,14 então: V = pi r² h

Área lateral e área total: Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2.A(base)
A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²
A(total) = 2 pi r(h+r)

Se o cilindro tem um raio r e uma altura h, o volume é

 

  área da base é

área lateral é

e a área total é

DESAFIO

1)Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.


 

 DIA - A - DIA

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

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Piramide

Piramide

PIRAMIDE

Uma pirâmide é todo poliedro formado por uma face inferior e um vértice que une todas as faces laterais. As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares, e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de vértice da pirâmide. O numero de faces laterais de uma pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da base

ELEMENTOS DE UMA PIRAMIDE

Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base.

Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da pirâmide e por dois vértices consecutivos da base.

Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base.

Apótema: É a altura de cada face lateral.

Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces laterais.

Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

CLASSIFICAÇÃO

Triangular: tendo como base um triângulo. 







Quadrangular: tendo como base um quadrado.

Pentagonal: tendo como base um pentágono.

Hexagonal: tendo com base um hexágono.

FORMULAS

 Volume

Para o cálculo do volume de uma pirâmide usaremos uma fórmula fixa dada por : , onde B é a area da base da piramide e H é a altura da pirâmide.

Área da superfície

Para o cálculo da área da superfície de uma pirâmide, calcularemos a área da base (A_b), a área das laterais (Al), e somaremos as duas, formando a área total (A_t). Quando sabe-se que os triângulos das laterais são eqüiláteros, usamos a fórmula dos triângulos eqüiláteros, mas caso nao tenha sido dada nenhuma informação sobre esses triangulos, usaremos a fórmula de um triângulo qualquer que é onde b, é a base do triângulo, e h é a altura do triângulo, lembrando que, a altura do triângulo corresponde a apótema lateral da pirâmide. Para descobrir as medidas que não temos na pirâmide, mas são necessárias, usaremos suas características (raio, apótema da base, aresta da base, aresta lateral, altura da pirâmide, aresta lateral), para descobrir a medida dos outros através do teorema de Pitágoras, pois, poderemos observar a formação de triângulos retângulos na base da pirâmide, verticalmente dentro da pirâmide.

DESAFIO

2) Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

Formula's + dicas

Altura do triangulo e igual a apotema da piramide.


G² = H² + M²

DIA - A - DIA

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

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